Rudolf Muther, 1823 in Breitenau bei Bad Rodach als Sohn eines Pfarrers geboren, gehörte zur Generation von Verwaltungsjuristen, welche die deutschen Städte in der Hochphase der Industrialisierung grundlegend modernisierten. Nach dem Besuch des Coburger Gymnasiums studierte er in Jena und Heidelberg Jura und trat 1847 in den Coburger Justizdienst ein. 1858 wurde er als Justizamtmann. In dieser Funktion führte er das Enteignungsverfahren für den Bahnbau Coburg–Sonneberg durch. Dies ist ein Hinweis, wie eng seine Laufbahn von Beginn an mit der Industrialisierung verknüpft war. 1865 wählte ihn die Stadtverordnetenversammlung zum Bürgermeister. Zeitgenossen schilderten ihn als jovialen, beliebten Amtsinhaber mit sicherer Hand für solide Finanzen.
Die Ära Muther fiel in Jahrzehnte beschleunigter Urbanisierung: Städte wuchsen, neue Verkehrsachsen zerschnitten alte Fluren, und kommunale Investitionen prägten die Stadtökonomie. In Coburg kaufte die Stadt unter Muther größere Geländeteile für Erweiterung und Bebauung, vor allem im damals noch weitgehend grünen Zwischenraum zur seit den 1850er Jahren bedeutsam gewordenen Eisenbahn. Daraus erwuchs die Mohrenstraße als kürzeste Verbindung zwischen Altstadt und Bahnhof. Infrastrukturpolitisch folgte Muther dem Leitbild der Gründerzeit: Verkehrsanbindung, Erschließung und kommunale Daseinsvorsorge.
Mit Blick für Standortpolitik vermittelte Muther außerdem die Umsiedlung der Wagenfabrik Nikolaus Trutz an den Sonntagsanger, woraus sich ein leistungsfähiger Industriebetrieb entwickelte. Dies war ein Baustein jener kommunalen Wirtschaftsförderung, die vielerorts die industrielle Basis stärkte.
Auch bei der „Verstadtlichung“ technischer Netze zeigte Muther Profil. Die 1857 als Aktiengesellschaft am Anger gegründete Gasfabrik übernahm die Stadt 1880 für 300.000 Mark In den 1880er Jahren wurde die Straßenbeleuchtung ausgebaut und vom Öl- und Gasflammenbetrieb mit Schnittbrennern auf das hellere Auer-Gasglühlicht umgestellt. Parallel entstanden neue Infrastrukturen wie das städtische Schlachthaus (1878-80). Damit griff Coburg die hygienischen und konsumpolitischen Reformtrends der Zeit auf, die in vielen Städten zur Kommunalisierung von Gas, Wasser und Schlachtwesen führten.
Die städtebaulichen Eingriffe begleiteten eine Neujustierung von Regierung und Verwaltung. Coburgs Modernisierung gelang im arbeitsteiligen Zusammenspiel von Bürgermeister, Magistrat und Stadtverordneten – einer kommunalen Trias, die sich im Kaiserreich als demokratisch-legalistische Steuerungsform etablierte. Für seine Verdienste erhielt Muther 1883 den Titel „Oberbürgermeister“ und initiierte im selben Jahr den „Thüringischen Städtetag“. Dies war Ausdruck einer wachsenden Vernetzung der Kommunen, die technische Standards, Finanzausgleich und Gesetzesinitiativen zunehmend gemeinsam verhandelten. Seit 1869 wirkte er zudem als Präsident des Coburger Landtags und als Vizepräsident des gemeinschaftlichen Landtags mit Gotha; diese Ämter übte er 27 Jahre bis 1896 aus. Anfang 1897 trat er in den Ruhestand und erhielt die Ehrenbürgerwürde. Er starb 1898 im Alter von 75 Jahren.